黑体辐射三大定律公式（黑体辐射三大定律）

在设计光电探测系统的过程中，分析和计算被探测目标的热辐射特性必须知道的参数，如温度目标的光谱辐射发射率分布曲线、给定波长辐射发射率、总辐射发射率、给定波长辐射发射率与总辐射发射率的比值、给定波长辐射发射率、峰值辐射波长和峰值辐射发射率，是光电探测系统设计中首先要涉及的技术问题。黑体辐射的三个基本定律，即普朗克辐射公式、维恩位移定律和斯特凡-玻尔兹曼定律，是分析光源辐射特性的理论基础。让我们一起来看看吧。

1.普朗克辐射定律黑体辐射定律[1]是德国物理学家马克斯普朗克在1900年创立的。普朗克辐射定律是公认的物体间热传导的基本定律。认为单位面积单位时间的辐射功率与温度的四次方成正比，比值为5.6710-8wm-2K-4。虽然有物理学家怀疑，当两个物体距离极近时，这个定律不能成立，但也无法证明和证明。2009年7月30日，美国麻省理工学院(MIT)宣布，麻省理工学院动力工程华裔教授陈刚及其团队的研究首次打破了“黑体辐射定律”的公式，证明了极近距离物体的热传导可高达该定律公式预测的1000倍。这项研究将发表在2009年8月的《纳米快报》上。

教学时，如果只用公式(1)解释普朗克的辐射公式，一般来说，学生会“云里雾里”地听到。为了真正让学生理解普朗克辐射公式，下面用编程和绘图来说明。已经解释了普朗克辐射公式表示黑体的光谱辐射发射率。所以横坐标是波长)，纵坐标是Ma，辐射温度t是变量。使用Matlab ' '。编程给出MA、R.T .的关系图。

程序如下[1:

清晰；clcclf

cl=3.741832%第一辐射常数

c2=1.438786%秒辐射常数

ForT==500:10 0:900%设定辐射温度(K)

l=0.0001:0.02:15；%设置波长范围和计算步长。

M==1e 4。*(c1。/(即：5)./(exp(c2。/《l . * T))-1))；%计算指定温度下的光谱辐射亮度。

plot(I . M . '-b，TIneWidth '，1.4)

MaxM==max( M )%绘制光谱辐亮度曲线；%找到指定温度下的最大亮度。

光谱辐射

I=find(maxM==M)；%，找到峰值波长点。

文本(l(I ^ 20)，M(I ^ 20).[ _num2str(T)，K]，

垂直对齐。

基线，'水平对齐'，'左对齐，'字体大小

,7)

继续

以给定的方式在指定位置标记相应的温度。

结束

set(gca，XTIck，[0，1，2.3.4，5，6，7，8.9，10，11，12，

13，14，15]) v设置横坐标点。

Xlabel( \lambda，' \ m))%横坐标名称和单位

yla be l(M _ b \ lambda }/V V \ CDO temi {-:)\cdot \

mu' (-1})坐标的名称和单位

拖延

图1是上述Matlab代码编译后给出的MM，H，T的关系图。图中所有的标记和连接都是由程序给出的。

从图1中的曲线可以清楚地看到黑体辐射的一些特征，可以建立普朗克辐射公式与维恩位移定律和斯特凡玻尔兹曼定律之间的关系。

2.维恩位移定律从图1可以看出，黑体的光谱辐射发射率随波长连续变化，对应某一辐射温度的曲线有一个极大值，即黑体在该辐射温度下的峰值辐射发射率，峰值对应的波长称为峰值波长)。对于一条连续的曲线，从数学知识可以知道，曲线的极值点可以通过对其求导，使其为零而得到。因此，利用普朗克公式推导波长并使其为零，就可以推导出峰值波长Am与黑体绝对温度T的关系表达式。

这个公式就是韦恩位移定律。图1中的虚线是峰值波长线。从峰值波长线可以看出，随着温度的升高，峰值波长减小，即随着温度的升高，黑体辐射中包含的短波部分比例增加。在光电探测系统中，利用维恩位移定律可以计算出辐射源(目标)在某一温度下的峰值波长，从而确定所选红外探测器响应的峰值波长，实现所谓的“光谱匹配”。从图1还可以看出，在峰值波长左右一定的波长范围内，是给定温度下黑体或近黑体物体辐射发射率最高的波段，所以。维恩位移定律也有助于选择探测器，以实现所谓的“波段匹配”。一般将地面目标视为辐射温度为300K的灰体，其峰值辐射波长为9.6593 pm。因此，通常选择在8~12ym波长范围内具有高响应的探测器(还要考虑大气窗口因子)，如MCT，作为其探测装置的首选传感器。关于这一点，将在下面讨论如何计算波段辐射发射度时进一步解释。

3.Stefanbolz定律从图1中也可以看出，黑体的辐射特性只与黑体的绝对温度有关。图1中的曲线彼此不相交。温度越高，所有波长的光谱辐射发射率越大。或者反过来，达拉斯到礼堂根据积分的概念，图1中每条曲线下的面积代表给定温度下黑体的总辐射发射率。因此，将波长从0到o O的普朗克公式积分，可以得到黑体总辐射发射率与温度的关系：

其中o==(5.67032 0.0(071)x 10 ~ 1(w . cm-2k-')，这是一个Stefan-Boltzmann常数。式(3)是Steshen Boltzmann定律。这个定律表明，黑体的总辐射发射率与温度的四次方成正比，所以温度t的微小变化都会引起辐射发射率的巨大变化。这也可以从图1中每条曲线下的面积看出。随着温度的升高，曲线围成的面积显著增加，这意味着黑体的总辐射发射率随着温度的升高而迅速增加。