矩阵的半负定性，半负定矩阵如何判定极大值

对于矩阵的半负定性，半负定矩阵如何判定极大值，很多网友还不是很明白，今天艾巴小编收集了这方面的知识，就将其分享出来。

定义：

1.由于正定二次型与正定矩阵密切相关，在定义正定矩阵之前，我们先定义一下正定二次型：如果有二次型，如果对任意x ^ 0有f(x)0( 0)，那么f(x)称为正定(半正定)二次型。

相应地，正定(半正定)矩阵和负定(半负定)矩阵的定义如下：设A为对称矩阵，若对任意n维向量x 0存在f(x)0(0)，则称之为正定(半正定)矩阵；另一方面，设A是n阶对称矩阵，若对任意n维向量x0有f(x)0( 0)，则称为负定(半负定)矩阵。例如，单位矩阵e是正定矩阵。

编者：由于正定二次型与正定矩阵密切相关，在定义正定矩阵之前，我们先定义一下正定二次型：用二次型，若对任意x ^ 0有f(x)0( 0)，则f(x)称为正定(半正定)二次型。

相应地，正定(半正定)矩阵和负定(半负定)矩阵的定义如下：设A为对称矩阵，若对任意n维向量x 0存在f(x)0(0)，则称之为正定(半正定)矩阵；另一方面，设A是n阶对称矩阵，若对任意n维向量x0有f(x)0( 0)，则称为负定(半负定)矩阵。例如，单位矩阵e是正定矩阵。

正定矩阵辨别方法：

1.从正定矩阵的概念可以知道，有以下几种方法来判别正定矩阵：1。n阶对称矩阵A正定的充要条件是A的n个特征值都是正数。证明：如果，有0.反之，必然有一个U，证明A是正定的。从上面判断正定性的方法，不难得到A是半正定矩阵的充要条件：A的所有特征值都是非负的。2.n阶对称矩阵A正定的充要条件是A与单位矩阵E收缩.

证明了正定二次正定A的正惯性指数为n3。n阶对称矩阵A正定(半正定)的充要条件是n阶可逆矩阵U的存在；此外，(b是正定(半正定)矩阵)。证明了若n阶对称矩阵a正定，则存在可逆矩阵u，反之亦然，A正定。同样，可以证明A是半正定时。4.如果n阶对称矩阵a是正定的，那么a的主对角线元素。

证明了：(1)n阶对称矩阵A是正定二次型。现在代入一组数0，…，0，1，0…0(其中第I个数为1)，有一个正定 a可逆矩阵c，使得5。n阶对称矩阵a .证明：必要性：设二次型正定。对于每个k，k=1，2，…，n，ling，证明了它是一个k元二次型。

对于任意k个不全为零的实数，任意正定的矩阵都是正定的，即A的序列主成分都大于零。充分性：数学归纳n=1，时，n明显是正定的。假设n-1元实二次型的结论成立，现在我们证明n元的情况。

阶，A可以分块写成 A。阶主分量都大于零阶主分量都大于零。归纳假设是它是一个正定矩阵，即如果有一个n-1阶可逆矩阵q阶如果有阶，有两边取行列式，那么a0显然是a与e收缩，A是正定的。

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负定矩阵判别方法：

1.1 . n . n阶对称矩阵为负定矩阵当且仅当其负惯性指数为n.2.n阶对称矩阵A为负定矩阵的充要条件是A的特征值都小于零。3.N阶对称矩阵A为负定矩阵的充要条件是满足A的有序主从属。即奇数阶主成分都小于零，偶数阶主成分都大于零。由于A为负当且仅当-A为正，所以从正的结论直接得出上述结论并不困难，所以证法略。

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半正定矩阵判别方法：

1.1 . n . n阶对称矩阵是半正定矩阵当且仅当A的正惯性指数等于其秩。2.n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充要条件是A的所有特征值都大于等于零，但至少有一个特征值等于零。3.n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充要条件是A的所有主分量都大于等于零，但至少有一个主分量等于零。

注：3是指本金本金，不是顺序本金。实际上，只有序列主元大于等于零并不能保证A是半正的，比如一个矩阵的序列主元，但A不是半正的。

以上知识分享到此为止，希望能够帮助到大家！